Analytical and numerical analysis of the dissipative kundu-eckhaus equation

Abstract

It is well-known that the Kundu-Eckhaus equation (KEE) is a nonlinear equation which belongs to nonlinear Schrödinger class and it is commonly used as a model to investigate the dynamics of diverse phenomena in many areas including but are not limited to hydrodynamics, ?ber and nonlinear optics, plasmas and ?nance. However, the e?ects of dissipation on the dynamics of KEE have not been investigated so far. In this thesis, in order to address this open problem we propose the dissipative Kundu-Eckhaus equation (dKEE) and perform an analytical and numerical analysis of the dKEE. With this motivation, we derive a simple monochromatic wave solution to dKEE. Then, we propose a split step Fourier method (SSFM) for the numerical solution of the dKEE and we test the stability of the SSFM using the analytical solution derived as a benchmark problem. Observing the stability and the accuracy of the scheme, we ?rst investigate the rogue wave dynamics of the dKEE using the SSFM. More speci?cally, we show that modulation instability (MI) turns the monochromatic wave ?eld into a chaotic one, thus the appearance of rogue waves become obvious. We discuss the properties and characteristics of such rogue waves. Additionally, we depict the amplitude probability distribution functions (PDFs) and discuss the e?ects of di?usion, Raman and dissipation coe?cient as well as the MI parameters on the probability of rogue wave occurrence. Secondly, we investigate the e?ects of dissipation on the self-localized solitons of the KEE. For this purpose, we propose a Petviashvili method (PM) to obtain the self-localized solitons of the KEE and analyze the e?ects of dissipation by time stepping of these solitons using the SSFM proposed for dKEE. It is known that, KEE admits stable single, two and N-soliton solutions for the no potential case. It has been recently found that, under the e?ect of photorefractive and saturable potentials, such solitons of the KEE become unstable. We show that the dissipation parameter can be used to stabilize the single, two and three solitons of the KEE which do not satisfy the necessary Vakhitov-Kolokolov condition for the soliton stability. With this aim, we present the power graphs as functions of soliton eigenvalue and as well as time. Additionally, we depict the soliton shapes for various times to show that they are preserved for time scales long enough for many engineering purposes.We comment on our ?ndings and discuss the applicability and uses of our results. Additionally, we suggest possible directions for the near future research activities.

Kundu-Eckhaus denkleminin (KEE), doğrusal olmayan Schrödinger sınıfına ait bir denklem olduğu ve hidrodinamik, ?ber ve doğrusal olmayan optik, plazma ve ?nans alanlarında bilinen ama bu alanlarla sınırlı kalmayan farklı olayların dinamiklerini araştırmak için yaygın olarak kullanılan bir model olduğu iyi bilinmektedir. Ancak KEE’nin dinamiği üzerinde sönümün etkileri araştırılmamıştır. Bu tezde, bu açık sorunu çözmek için, sönümlü Kundu-Eckhaus denklemi (dKEE) önerilmiş ve dKEE’nin analitik ve hesaplamalı çözümlerini ele alınmıştır. Bu motivasyon ile ilkin, dKEE için basit ve tek zamanlı bir dalga çözümü elde edilmiştir. Daha sonra dKEE’nin hesaplamalı çözümü için yarık basamaklama Fourier metodu (SSFM) önerilerek türetilen analitik çözüm test problemi olarak kullanılmış ve SSFM’nin hassasiyeti ve kararlılığı test edilmiştir. Şemanın hassasiyeti ve kararlılığı gözlendikten sonra, ilk önce dKEE’nin dev dalga dinamikleri SSFM kullanarak araştırılmıştır. Daha spesi?k olarak, modülasyon kararsızlığının (MI) tek zamanlı dalga sahasını kaotik bir alana dönüştürdüğü gösterilmiş ve böylece dKEE bünyesinde dev dalgaların oluşabileceği gösterilmiştir. Ardından bu tür dev dalgaların özellikleri ve karakterleri tartışılmıştır. Ek olarak, dalga genlikleri için olasılık dağılım fonksiyonları (PDFs) üretilmiş ve difüzyon, Raman ve sönüm katsayısının yanı sıra ilgili MI parametrelerinin dev dalgaların ortaya çıkma olasılığı üzerine etkileri tartışılmıştır. İkincil olarak, sönümün KEE’nin öz yerel solitonlarının (tekil dalga) üzerine etkileri araştırılmıştır. Bu amaçla, KEE’nin öz yerel solitonlarını elde etmek için bir Petviashvili yöntemi (PM) önerilmiştir. Daha sonra PM ile elde edilen bu solitonlar SSFM kullanılarak zaman basamaklamaya tabi tutulmuştur. KEE’nin potansiyelsiz durumda kararlı tek, iki ve N-soliton çözümleri olduğu bilinmektedir. Son zamanlarda, fotorefraktif ve doyurulabilir potansiyellerin etkisi altında, KEE’nin bu tür solitonlarının dengesiz hale geldiği gösterilmiştir. Sönüm parametresinin, KEE’nin soliton dengesi için gerekli olan Vakhitov-Kolokolov koşulunu sağlamayan tekli, ikili ve üçlü solitonları dengelemek için kullanılabileceği gösterilmiştir. Bu amaçla, güç gra?kleri soliton özdeğerinin ve zamanın birer fonksiyonu olarak sunulmuştur. Ek olarak, soliton şekilleri çeşitli zamanlarda oluşturulmuş ve birçok mühendislik amacı için yeterince uzun zaman ölçeklerinde korundukları gösterilmiştir. Sonuç olarak, bu tezin bulguları hakkında yorumlar yapılmış ve sonuçların uygulanabilirliği, olası kullanım alanları ve yakın gelecekteki araştırma faaliyetleri için olası ?kirler tartışılmıştır.